Examen Séries-Intégrations | Convergence absolue – Intégrale impropre

Thèmes :

Exercice 1: Intégrale impropre
Exercice 2: Nature de la série / Convergence absolue / Semi convergence / Suite décroissante à partir d’un certain rang
Exercice 3: Série convergente / Somme partielle / Série divergente / Suite majorée /
Exercice 4: Continuité / Parité / Intégration par parties / Classe d’une fonction

Extrait :

Exercice 1. Déterminer la nature de Pintégrale impropre suivante :

Exercise 2. Etudier, selon les valeurs du paxglmétre réel 0:, la nature de 13. série (convergence absolue, semi-
convergence) de terme général

(On pourra, après avoir étudié la convergence absolue, montrer que la suite est décroissante la partir
d‘un certain rang).
Exercice 3. Soit une suite de réels positifs. Pour tout entier n ∈ ℕ, on pose

1. Montrer que, si la série converge, alors la série \sum _{ n\ge 0 }{ { v }_{ n } } converge.

Indication : on pensera 51 utilise les sommes partielles.
2. Montrer que, si la série 2,1,0 1;, diverge et si la suite (un) est majorée, alors la série $00 11,, diverge.
3. Dormer u.n example mi Eng“ un diverge et 21,20 1:“ converge. _

Exercice 4. Établir, pour tout x ∈ ℝ, l’existence de

,
,
,

2. Montrer que F est continue sur ℝ et paire.
3. Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que pour tout x ∈ ℝ, xF(x) = 2H(x).
4. Montrer que H est de classe C¹ sur [0,+∞[ et que H’ = F – K. On admet que K est de classe C¹ sur
[0,+∞[ et que K’ = — H. ,
5. En déduire que F est de classe C² sur [0, +∞[ et que

F” = F.
6. On admet qu’il existe (λ,μ) ∈ ℝ tel que, pour tout x ∈ ]0,+∞[, on ait

(a) Montrer que, pour tout x > 0, on a En déduire que λ = 0. Déterminer μ
(b) Montrer que, pour tout x ∈ ℝ

7. (a) Montrer que, pour tout x ∈ ]0, +∞[,xG(x) = —xF’(x).

(b) En déduire que

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