Thèmes :
Exercice 1: Tirage successif et sans remise / Espérance / Variance / Tirage simultané / Variable aléatoire / Loi de probabilité
Exercice 2: Loi conjointe / Lois marginales / Lois indépendantes
Exercice 3: Variable aléatoire / Espérance / Variance / Loi conditionnelle
Exercice 4: Tirage de boules dans une urne / Variable aléatoire / Espérance / Variance / Loi conjointe / Suite géométrique / Limite
Exercice 5: Variable aléatoire / Loi de Poisson / Probabilité conditionnelle / Espérance / Variance
Extrait :
Examen Probabilités | Espérance – Limites
Université de. Polynésie Françoise
LMD 2ème année :
EXAMEN: janvier 2006
(3 heures)
La calculatrice n’est pas autorisée ainsi que le vini.
La qualité de fa rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Tout résultat doit être justifié rigoureusement sous peine de sanctions…
On rappelle le formulaire suivant :
=
si |x| < l, alors
$latex \sum _{ k=0 }^{ +\infty }{ { x }^{ k } }$
= $latex \frac { 1 }{ 1-x } $
pour tout réel x,
$latex \sum _{ k=0 }^{ +\infty }{ { x }^{ k } }$
$latex \frac { { x }^{ k } }{ k! }$
= $latex { e }^{ x }$
Exercice 1
LES QUESTION 1 ET 2 SONT INDÉPENDANTES
1/ D'un sac contenant n jetons numérotés de 1 à n >= 3, on en tire successivement 3, au hasard et sans remise. On
désigne par X le numéro du troisième jeton obtenu.
a) Déterminer X (D) et montrer que X ‘UE1 n] .
b} Donner E(X) et V(X).
2. D’un sac contenant n jetons numérotés de 1 à n, n >= 3, on en Tire simultanément 3, ou hasard. On désigne par X la
variable aléatoire égale ou point tiré dont la valeur est intermédiaire entre les deux autres. Déterminer la loi de probabilité de X.
Exemple : Si on a tiré les jetons 15. 2 et 8, X prend la valeur de B.
Exercice 2
On considère les réels 
1 Déterminer la valeur de a pour laquelle les réels Pi..j forment les coefficients d’une loi conjointe.
2. On suppose la condition précédente remplie. Soit (X, Y) un couple de V.A.R. à valeurs dans N x N ,de loi conjointe (P,i,j)
a. Déterminer les lois marginales.
b. X e? Y son? elles indépendantes ?
Exercice 3
Deux joueur-s A et B procèdent chacun à une succession de lancers d’une même pièce à chaque lancer la probabilité d’obtenir pile et p(p fixé. O Le joueur A commence et il s’arrête quand il obtient le premier pile. On note X la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués par le joueur A.
La joueur B effectue alors autant de lancers que le joueur A et on note Y la variable aléatoire égale au nombre de pile(s) obtenu par le joueur B.
1 . Donner la loi de X, son espérance et sa variance …
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