Calculs Différentiels Exercices

Exercices Analyse – Plans tangents à un graphe / Différentiabilité + Correction | Cône – Dérivées directionnelles

Thèmes :

Exercice 1: Equation du plan tangent
Exercice 2: Equation du plan tangent
Exercice 3: Paraboloïde / Plan tangent
Exercice 4: Cône / Vecteur normal / Plan vertical
Exercice 5: Equation du plan tangent / Plans parallèles
Exercice 6: Fonction continue / Dérivée directionnelle / Différentiabilité
Exercice 7: Approximation affine

Extrait :

Exercices Analyse – Plans tangents à un graphe / Différentiabilité + Correction | Cône – Dérivées directionnelles

Exercice 1
Trouver l’équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x0;y0; z0) donné :
1. z=\sqrt { 19-{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } { (x }_{ 0 },{ y }_{ 0 },{ z }_{ 0 })=(1,3,3);
2. z=sin(\pi xy)exp2{ x }^{ 2 }y-1); ({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 },{ z }_{ 0 })=(1,1/2,1).
Indication H
Exercice 2
On demande à un étudiant de trouver l’équation du plan tangent à la surface d’équation z={ x }^{ 4 }-{ y }^{ 2 } au point
({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 },{ z }_{ 0 })=(2,3,7). Sa réponse est
z=4{ x }^{ 3 }(x-2)-2y(y-3)
1. Expliquer, sans calcul, pourquoi cela ne peut en aucun cas être la bonne réponse.
2. Quelle est l’erreur commise par l’étudiant ?
3. Donner la réponse correcte.
Indication H
Exercice 3
Trouver les points sur le paraboloïdez=4{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } où le plan tangent est parallèle au plan x+2y+z=6. Même
question avec le plan 3x+5y-2z=3.
Indication H
Exercice 4
Soit C le cône d’équation { z }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } et { C }^{ + } le demi-cône où z\ge 0. Pour un point quelconque { M }_{ 0 } de C\diagdown \{ (0,0,0)\}, de coordonnées ({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 },\pm \sqrt { { (x }_{ 0 }^{ 2 }+{ y }_{ 0 }^{ 2 } }, on noteP { M }_{ 0 } le plan tangent au cône C en { M }_{ 0 }.
1. Déterminer un vecteur normal et l’équation du plan P { M }_{ 0 } .
2. Montrer que l’intersection du cône C avec le plan vertical d’équation y = ax où a ∈ ℝ est constituée de
deux droites { D }_{ 1 } et { D }_{ 2 } et que l’intersection du demi-cône { C }^{ + } avec ce plan vertical est constituée de deux
demi-droites { D }^{ + }
{ D }_{ 1 }^{ + } et { D }_{ 2 }^{ + }

3. Montrer que le plan tangent au cône C est le même en tout point de { D }_{ 1 }\diagdown \{ (0,0,0)\} (respectivement en
tout point de { D }_{ 2 }\diagdown \{ (0,0,0)\} .
Indication H
Exercice 5
Soit f la fonction définie sur par f (x,y) = { x }^{ 2 }-2{ y }^{ 3 }.
1. Déterminer l’équation du plan tangent P { M }_{ 0 } au graphe { G }_{ f } de f en un point quelconque { M }_{ 0 } de { G }_{ f } .
2. Pour le point { M }_{ 0 } de coordonnées (2,1,2), déterminer tous les points M tels que le plan tangent en M soit
parallèle àP { M }_{ 0 } .
Indication H
Exercice 6
1
Soit la fonction f : ℝ définie par
f (x,y) = \frac { x{ y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }; (x,y)\neq (0,0)
et f (0;0) = 0.
1. Montrer que f est continue et que, quel que soit v ∈ , la dérivée directionnelle { D }_{ v } f (x,y) existe en
chaque (x,y) ∈ mais que f n’est pas différentiable en (0,0).
2. La dérivée …

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