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Examen Algèbre / Analyse | Convergence – Fonction bornée

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par Erwin BORD

Thèmes

:

Exercice 1: Matrice diagonalisable
Exercice 2: Logarithme népérien / Fonction bornée / Suite de fonction / Convergence / Intégrale convergente / Série
Exercice 3: Série entière / Rayon de convergence / Fonction bornée / Fonction constante

Extrait :

Examen Algèbre / Analyse | Convergence – Fonction bornée

EXERCICE 1

Soient a, b et c des nombres réels. On considère la matrice
A=\left( \begin{matrix} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & c \end{matrix} \right)
1. Pour quels nombres a, b et c la matrice A est—elle diagonalisable?
2. On prend a = b = 0 et C = 1. Calculer { A }^{ n } pour tout entier naturel n.

EXERCICE 2

On note Log la fonction logarithme népérien.

1. Montrer que la fonction f définie sur ]0,1[ par x)=\frac { xLogx }{ 1-x } est bornée sur ]0, 1[.

2. On considère la suite de fonctions ({ f }_{ n }{ ) }_{ n\ge 0 } définie sur ]0, 1[ par { f }_{ n }(x)={ x }^{ n }f(x) Etudier
la convergence de la suite ({ f }_{ n }{ ) }_{ n\ge 0 }
3. Justifier que pour tout entier naturel n, l’intégrale
{ J }_{ n }=\int _{ 0 }^{ 1 }{ { f }_{ n } } (x) dx
est convergente et montrer, à l’aide de la question 1, qu’il existe un réel M > 0 tel que l’on ait { J }_{ n }\le \frac { M }{ n+1 }

4. Calculer explicitement, en fonction de l’entier naturel k la valeur de
{ I }_{ k }=\int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ k } } Log x dx
Que peut-on dire de la série de terme général { I }_{ k } ?
5. Établir la convergence de l’intégrale
I=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { Logx }{ 1-x } }
et exprimer I — { J }_{ n } en fonction des { I }_{ k }
6. Montrer que I=-\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } }

EXERCICE 3

Soit \sum { { a }_{ n } } { z }^{ n } une série entière de rayon de convergence infini. Pour tout z de ℂ, on pose
f(x)=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n } } { z }^{ n }
1. Montrer, en le justifiant soigneusement, que pour tout entier naturel n et tout réel R>0,on a
{ a }_{ n }{ R }^{ n }=\frac { 1 }{ 2\pi } \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ f(R{ e }^{ it } } ){ e }^{ -int } dt

2. On suppose a partir de maintenant qu’il existe des constantes ℂ > 0 et a ≥ 0 telles que l’on ait
\left| f(z) \right| \le C\quad exp(a|z|) pour tout z ∈ ℂ.

On fixe un entier n ∈ ℕ*. Montrer qu’on a
\left| { a }_{ n } \right| \le C\frac { exp(aR) }{ { R }^{ n } }
pour tout R > 0.
3. En déduire que l’on a
\left| { a }_{ n } \right| \le C{ \left( \frac { ae }{ n } \right) }^{ n }
4. On suppose que f est bornée dans ℂ. Montrer qu’alors f est constante.

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