Partiel Analyse + Correction | Dérivabilité - Développement limité

Thèmes :

Question de cours: Voisinage / Composée de fonctions / Dérivabilité
Exercice 1: Résolution d’équation
Exercice 2: Taylor Young / Classe d’une fonction / Développement limité
Exercice 3: Classe d’une fonction / Étude de fonction / Asymptote

Extrait :

Partiel Analyse + Correction | Dérivabilité – Développement limité

Question de Cours (4 pts)
1. Montrer que si f est d´efinie au voisinage de ${x}_{0}$ , d´erivable en ${x}_{0}$ , g est d´efinie au voisinage de
${ y }_{ 0 }=f({ x }_{ 0 })$ , d´erivable en ${y}_{0}$ alors g o f est d´erivable en ${x}_{0}$ avec
$(goh{ ) }^{ ' }({ x }_{ o })={ f }^{ ' }({ x }_{ o }).{ g }^{ ' }({ y }_{ 0 })={ f }^{ ' }({ x }_{ 0 }).{ g }^{ ' }(f({ x }_{ 0 }))$
2. En quels point ${x}_{0}$ de ℝ la fonction f d´efinie par la formule f(x) = exp(sin ln x) est-elle
d´erivable ? Donner une formule pour sa d´eriv´ee. On fera apparaˆıtre f comme la compos´ee de trois
fonctions de r´ef´erence.
Exercice 1 (2 pts)
Montrer que l’´equation $sinx=\frac { x }{ x+1 }$ d’inconnue x ∈ [0,+∞[ admet une in$ finit´e de solutions.
Indication: Introduire la fonction diff´erence entre les deux membres de l’´egalit´e et tester ses valeurs aux
points de la forme $2k\pi$
Exercice 2 (6 pts)
Pour m > 0 un r´eel fix´e, on consid`ere la fonction ${ g }_{ m }$ d´efinie par
${ g }_{ m }(x)=\frac { m }{ m-1-\sqrt { 1-4x } }$
1. Donner le d´eveloppement limit´e d’ordre 3 en 0 de la fonction $x\longmapsto \sqrt { 1-x }$ obtenu en appliquant
la formule de Taylor-Young.
2. Montrer que ${ g }_{ m }$ est bien d´efinie et de classe ${ C }^{ 3 }$ sur un voisinage de 0 que l’on pr´ecisera.
3. Effectuer le d´eveloppement limit´e d’ordre 1 de ${ g }_{ m }$ en 0 et en d´eduire l’´equation de la tangente
au graphe de g en 0.
4. Effectuer le d´eveloppement limit´e d’ordre 2 de ${ g }_{ m }$ en 0 et pr´eciser, lorsque cela est possible,
les positions relatives, au voisinage de 0, du graphe de g et de sa tangente en 0.
5. Pr´eciser pour quelle(s) valeur(s) de m le d´eveloppement limit´e d’ordre 2 est insuffisant pour
r´epondre `a la question de la position relative du graphe et de la tangente en 0. Effectuer un
d´eveloppement d’ordre 3 de ${ g }_{ m }$ et pr´ecisez cette position.
Exercice 3 (8 pts)
L’objet de cet exercice est l’´etude de la fonction f d´efinie sur ℝ par
$f(x)=ln(a{ e }^{ x }+b{ e }^{ -x })$
o`u a et b sont deux r´eels > 0 fix´es.
1. Justifier bri`evement que f est de classe ${ C }_{ 1 }$ sur ℝ et donner une formule pour sa d´eriv´ee.
2. Etablir le tableau de variations de f et montrer que f atteint son minimum ymin en ..