Partiel Analyse + Correction | Continuité - Développement limité

Thèmes :

Question de cours: Classe d’une fonction / Formule de Taylor Young / Formule de Taylor Lagrange / Développements limités
Exercice 1: Application de la formule de Taylor Lagrange
Exercice 2: Continuité / Dérivabilité / Tangente d’une courbe
Exercice 3: Étude de fonction / Continuité / Dérivabilité

Extrait :

Partiel Analyse + Correction | Continuité – Développement limité

Question de Cours (4 pts)
1. On suppose que f est une fonction de classe ${ C }^{ 2 }$ sur l’intervalle ]−1, 1[.Montrer comment d´eduire
la formule de Taylor-Young `a l’ordre 2 en 0 de f `a partir de la formule de Taylor-Lagrange.
2. Donner le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 en 0 de la fonction f d´efinie pour x ∈]−1,+1[ par
la formule $f(x)={ e }^{ cosx }$ en utilisant la formule de Taylor-Young.
Exercice 1 (2 pts)
Montrer, en appliquant la formule de Taylor-Lagrange `a l’ordre 2, que pour tout r´eel x,
$|{ e }^{ x }-x-1|\le \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } { e }^{ |x| }$
On pourra distinguer les cas x < 0 et x > 0.
Exercice 2 (4 pts)
Soit f : [0, 1] → R une fonction continue sur [0, 1], d´erivable en tout point de ]0, 1[ et telle
que f(0) = f(1) = 0. Le but de cet exercice est de d´emontrer que si a 6∈ [0, 1] alors il existe une
tangente au graphe de f passant par le point (a, 0).
1. Faire un dessin illustrant ce r´esultat.
2. Soit ${x}_{0}$ un point de ]0, 1[. Donner l’´equation de la tangente au graphe de f en x0.
3. Soit a ∉]0, 1[. A quelle condition la tangente au graphe de f en ${x}_{0}$ passe-t-elle par le point
(a, 0) ?
4. On consid`ere la fonction φ : [0, 1] → R d´efinie par
$\phi (x)=\frac { f(x) }{ a-x }$
Justifier bri`evement que φ est une fonction d´efinie, continue sur [0, 1], d´erivable sur ]0, 1[ et donner
une formule pour sa d´eriv´ee.
5. Montrer qu’il existe ${x}_{0}$ ∈]0, 1[ tel que la tangente au graphe de f en ${x}_{0}$ passe par le point (a, 0).
Exercice 3 (10 pts)
Le but de cet exercice est l’´etude de la fonction r´eelle de variable r´eelle f : [0,+∞[→ R d´efinie,
pour x ≥ 0, par
$f(x)=\begin{cases} 0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad si\quad x\quad =\quad 0 \\ { x }^{ 2 }(ln(x+1)-lnx)={ x }^{ 2 }ln(1+\frac { 1 }{ x } )\quad si\quad x\quad >\quad 0 \end{cases}$
1. a. Etudier la continuit´e de f sur [0,+∞[.
b. Etudier la d´erivabilit´e de f sur ]0,+∞[ et donner une formule pour sa d´eriv´ee.
c. f est-elle d´erivable en 0 ?
d. D´eterminer le signe de f′ suivant les valeurs de x.
Indication: On pourra ´etudier succinctement une fonction auxiliaire .
e. Quelle est la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞?
f. Construire le tableau de variations de f.
2. a. D´eterminer des r´eels a, b et c tels que, pour ..