Partiel Analyse / Algèbre – 2007 – N°4 – Niveau L1

Thèmes :

Exercice 1: Décomposition en éléments simples / Fonctions hyperboliques / Changement de variable
Exercice 2: Matrice commutative / Familles libres / Sous espace vectoriel / Dimension d’une base
Exercice 3: Problème de Cauchy
Exercice 4: Équation différentielle linéaire du second ordre

Extrait :

Exercice 1
Décomposer la fonction f comme fraction rationnelle de R(X) en éléments simples.
Soit une intégrale. en effectuant le changement de variable u=sin t, montrer que l’on a l’égalité suivante.

Exercice 2
on considère la matrice suivante.
Soit E l’ensemble des matrices qui commutent avec A, c’est-à-dire le sous-ensemble de M_3(R) définies par la condition M appartient à E <=> Am=MA.
Montrer que E est un sous espace vectoriel de M_3(R).
Calculer A^2 et A^3. Montrer que( I_3, A, A^2) est une famille libre.
Calculer les produits matriciels AM et MA.
Donner une base de E et sa dimension.

Exercice 3
résoudre le problème de Cauchy suivant.

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