Examen Analyse – 2006 – N°2 – Niveau L1

Thèmes :

Exercice 1: Théorème des valeurs intermédiaires / Dérivabilité
Exercice 2: Règle de l’Hospital / Continuité / Limites
Exercice 3: Étude de Fonction
Exercice 4: Sous espace vectoriel / Base / Théorème de la base incomplète
Exercice 5: Calcul intégral / Primitive / Dérivabilité

Extrait :

Exercice 1
Soit a un réel et f:[a,+inf[->R une fonction continue. telle que f(a)=0 et telle que sa limite en + l'infini soit 0 et f dérivable sur ]a,+inf[. On pose b=e^(-a)
1) Soit g:[0,b]->R la fonction définie par g(0)=0 et g(x)=f(-ln(x)) si x est différent de 0. Montrer que g est bien définie et continue sur son ensemble de définition.
2) Calculer g(b), montrer que g est dérivable sur]0,b[ et calculer g'(x)
3) Montrer qu'il existe un réel c apprtenant ]a,+inf[ tel que f'(c)=0

Exercice 2
Soient a < b deux réels et f, g deux fonctions continues sur [a,b], dérivables sur ]a,b[. On suppose de plus que g'(x) est différent de zéro sur ]a,b[.
1) Montrer par l'absurde que pour tout x de ]a,b[, on a g(x) -g(a) différent de 0.
2) Posons p=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)). On définit une fonction u:[a,b]->R par u(x)=f(x)-pg(x). Montrer que u(a)=u(b) et en déduire qu’il existe un réel c dans ]a,b[ tel que f’(c)/g’(c)=p
3) On suppose que limite de f’(x)/g’(x) vaut l. Montrer que la limite de (f(x)-f(a))/(g(x)-g(a)) vaut l aussi.

Téléchargement :

Ceci pourrait vous interesser :

Partiel Analyse + Correction – 2006 – N°1 – Niveau L1
Thèmes : Question de cours: Classe d’une fonction / Formule de Taylor Young / Formule de Taylor Lagrange / Développements limités Exercice 1: Application de la formule de Taylor Lagrange Exercice 2: Continuité / Dérivabilité / Tangente d’une courbe Exercice...
Partiel Analyse – 2006 – N°1 – Niveau L1
Thèmes : Exercice 1: Étude de fonction / Limites / Continuité. Exercice 2: Petit problème sur les fonctions. Exercice 3: Moyennes harmonique et arithmétique / Suites convergentes Exercice 4: Problème sur la continuité. Extrait : Examen partiel Exercice 1 La...
Examen Analyse – 2005 – N°1 – Niveau L1
Thèmes : Questions de cours: Formule de Taylor Lagrange à l’ordre n. Exercice 1: Application de la formule de Taylor Lagrange. Exercice 2: Calculs de limites. Exercice 3: Limites/Prolongement par continuité Exercice 4: Fonction hyperbolique/Arctangente Exercice 5: Etude de fonction/Limites/Dérivée...
Examen Analyse / Algèbre – 2005 – N°2 – Niveau L1
Thèmes : Exercice 1: Questions de cours. Théorème des valeurs intermédiaires / Intégration par parties Exercice 2: Calcul d’intégrale Exercice 3: Logarithme/ Exponentielle/ Continuité Exercice 4: Espace vectoriel / Base / Endomorphisme / Matrice / Noyau / Image Extrait :...
Partiel Analyse – 2007 – N°2 – Niveau L1
Thèmes : Exercice 1: Continuité / Dérivabilité Exercice 2: Étude de fonction / Classe d’une fonction Exercice 3: Étude de fonction / Composée de fonctions / Bijection Extrait : Exercice 1 Montrer que f est continue en 0. En déduire...