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Examen Algèbre linéaire | Espace vectoriel – Application linéaire

Thèmes:

Question de cours: / /
Exercice 1: Espace vectoriel / / / /
Exercice 2: Application linéaire / / / / / de changement de base
Exercice 3: Double intégrale
Exercice 4: Double intégrale
Exercice 5: Equation différentielle /

Extrait:

Examen de Contrôle Continu 1.5 h Seul document autorisé : « Langage SQL et objet-relationnel »
EXAMEN « INITIATION AUX BASES DE DONNEES »

Question de cours : Donner la preuve du théorème suivant: Soit E et F deux espaces vectoriels sur R et f une application linéaire de E dans F . Alors f est injective si et seulement si Ker f = {0E}.
Exercice 1.
On rappelle que R3[X] est l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 3.
1. Donner une base et la dimension de R3[X].
2. Montrer que la famille B=(X3+1,X3−1,X2+X,X2−X) est une base de R3[X]. 3. Calculer les coordonnées du polynôme X3 + 2X + 1 dans la base B.
Exercice 2.
Soit f l’application linéaire de R3 dans R3 donnée par f (x, y, z) = (6x − 2y + 2z, 10x − 3y + 4z, −2x + y).
Soit B la base canonique de R3.
1. (a) Ecrire la matrice A de f dans la base B.
(b) Donner la dimension et une base de Ker(f). Donner la dimension et une base de Im(f).
(c) Déterminer l’ensemble des vecteurs u tels que f(u) = u.
2. Soit u1 = (1,2,−1), u2 = (0,1,1), u3 = (1,2,0) et B′ = (u1,u2,u3).
(a) Montrer que B′ est une base de R3. (b) Ecrire la matrice de f dans la base B′.
(c) Ecrire la matrice P de changement de base de B `a B′. Calculer P−1. (d) Calculer P−1AP. Pouvait-on prévoir le résultat?
Exercice 3. Calculer une double intégrale
Exercice 4. Calculer une double intégrale
Exercice 5.
1. Résoudre l’équation différentielle
y′′ − 6y′ + 9y = αe3x, (E)
ou` α est un paramètre réel.
2. Pour quelle valeur de α les solutions de (E) forment-elles un sous-espace vectoriel de l’espace
vectoriel des fonctions de R dans R?

Examen Algèbre linéaire | Espace vectoriel – Application linéaire

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